1. Data

Odlyzko's zero tables: high-precision tabulations of γₙ (imaginary parts of non-trivial zeros of ζ(s)). Three datasets tested: zeros2 (100K zeros, T≈74,920), zeros3 (~10K zeros near T~10¹²), zeros4 (~10K zeros near T~10¹³).

2. Spacing Covariance

Let δₙ = γₙ₊₁ − γₙ be consecutive zero spacings. Define shifted covariance at lag h:

1. Өгөгдөл

Одлызкогийн тэгийн хүснэгт: ζ(s)-ийн тривиаль биш тэгүүдийн γₙ-г өндөр нарийвчлалтайгаар тооцсон. Гурван датасет тест хийгдсэн.

2. Spacing Covariance

δₙ = γₙ₊₁ − γₙ гэж тодорхойлно. h лаг дээрх шилжсэн ковариансыг:

3. Key Normalization

The correct prime frequency at height T is τ_p = log(p) / log(T/2π). This unfolded normalization is essential — using log(p)/2π gives weak results (r≈0.4–0.6).

4. BK Predictor

Bogomolny–Keating (1996) predicted amplitude A(p) ~ C·(log p)²/p. We test Pearson correlation between observed A(p) and B(p) = (log p)²/p.

5. Statistical Significance

Permutation tests (shuffled zeros) did not reproduce the observed pattern, suggesting the signal is not an obvious statistical artifact. Naive p-values as low as — — but see bootstrap controls for corrected estimates.

3. Гол нормализаци

T өндөрт зөв прайм давтамж нь τ_p = log(p) / log(T/2π). Энэ задгай нормализаци зайлшгүй — log(p)/2π ашиглавал сул үр дүн (r≈0.4–0.6) гардаг.

4. BK Таамаглагч

Богомолны–Китинг (1996) A(p) ~ C·(log p)²/p гэж таамагласан. Ажиглагдсан A(p) болон B(p) хооронд Pearson корреляц тооцооллодог.

5. Статистик ач холбогдол

Permutation тест (холилдуулсан тэгүүд) ижил хэв маягийг давтаагүй — дохио нь статистикийн тодорхой артефакт биш гэж үзэж болно. Наив p = — — bootstrap-ийн засварласан тооцооллыг харна уу.