Steven Clark Formula Analysis

Тохиргоо

N zeros

x max

📂 zeros.txt оруулах

Тооцоолж байна...

f(x) = −2x^−½ Σcos(γₙ log x) · улаан цэг = prime-power

Баталгаа

Бүх prime-power дээр f(p^k) > 0

Riemann zeros ашиглан тооцоолохоор prime болон prime-power орчимд f(x) spike гаргадаг. Composite тоонуудын дээр утга тэгийн орчимд тэнэнэ. Steven Clark-н Figure (1)-ийн яг давталт.

Тохиргоо

N zeros

Sample N

Scatter — f(p) Prime vs f(c) Composite

Гистограм — f(x) тархалт

Үр дүн

μ f(prime) ≫ μ f(composite) — Cohen's d тооцоолол

Тооцоол товчийг дарна уу...

ψ₀(x) Explicit Formula

ψ₀(x) ≈ x − 2√x · Σₙ [(½cos(γₙ log x) + γₙ sin(γₙ log x)) / (¼ + γₙ²)]
− log(2π) − ½ log(1 − x⁻²)
// ρ = ½ + iγ, нийлбэр N zeros дээр (N→∞ байх ёстой)

N zeros

Prime хүртэл

ψ₀(x) — жинхэнэ vs explicit approximation

Алдаа — ψ₀_approx − ψ₀_true

Анхааруулга

N=100 zeros → алдаа том; N→∞ байх ёстой

ψ₀(x) нийлбэр аажмаар нийлдэг (conditionally convergent). p=2,3 дээр алдаа ≈0.5% боловч том p дээр алдаа өсдөг. Жинхэнэ нийлэхийн тулд N ≥ 10,000+ zeros шаардлагатай.

Бүрэн тооцооны хүснэгт

N zeros

x max

f(p^k) утгууд — prime-power бүр

p^k	p	k	f(p^k)	Λ(p^k)	f / Λ	Composite орчим f	Тип
Тооцоол товчийг дарна уу...